Rumus Deret Fibonacci?

Tahu deret Fibonacci kan? Ya, deret yang nilai sukunya merupakan jumlah dari 2 suku sebelumnya, dengan suku pertama dan kedua adalah 1. Secara matematis deret Fibonacci didefinisikan sebagai

\[F_n=\left\{\begin{matrix} 0&; n=0  \\ 1&; n=1  \\F_{n-1}+F_{n-2}&; n>1\end{matrix}\right.\]

Atau Fn = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Biasanya suku dari sebuah deret dapat dicari dengan rumus. Contohnya deret 1, 3, 5, 7, ... suku-sukunya dapat dicari dari rumus deret Un = 2n -1. Lalu apakah deret Fibonacci juga punya rumus suku deret? Jawabannya ya, meskipun jelas tidak sesederhana rumus deret biasanya. Rumus suku Fibonacci terkenal dengan nama Binet's Formula, yaitu:


\[F_n = \frac{\phi^n - \psi^n }{\phi - \psi} = \frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n}\sqrt{5}}\]

dengan $\displaystyle \phi = \frac {1+\sqrt 5} {2} \approx 1.618...$ dan $\displaystyle \psi = 1 - \phi = \frac {1-\sqrt 5} {2}$

Pembuktiannya: [show/hide spoiler]

Akan ditunjukkan bahwa
\[f_{n}= \frac{\phi^{n}-\psi^{n}}{\phi -\psi} = \frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n}\sqrt{5}}\]
dimana $f_{n}$ adalah suku ke-n dari deret Fibonacci dan n = 0, 1, 2, 3, ...

Karena suku ke-n dari deret Fibonacci didefinisikan sebagai $f_{n} = f_{n-1} + f_{n-2 }$ dengan $f_{0} = 0$ dan $f_{1} = 1$, maka dalam induksi matematika ini perlu ditunjukkan bahwa formula tersebut berlaku pada n = 0, n = 1 dan berlaku pula pada n = k dengan asumsi formula tersebut berlaku pula pada n = k-1 dan n=k-2

Untuk n = 0\[f_{0}=\frac{(1+\sqrt{5})^{0}-(1-\sqrt{5})^{0}}{2^{0}.\sqrt{5}}\]
$\displaystyle = \frac{1 - 1}{\sqrt{5}} =0$ (terbukti)

Untuk n =1\[f_{1}=\frac{(1+\sqrt{5})^{1}-(1-\sqrt{5})^{1}}{2^{1}.\sqrt{5}}\]
$\displaystyle = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} =1$ (terbukti)

Dengan asumsi formula berlaku untuk n = k - 1 dan n = k - 2, untuk n = k\[ f_{k}= f_{k-1}+f_{k-2}\]
$\frac{(1+\sqrt{5})^{k}-(1-\sqrt{5})^{k}}{2^{k}.\sqrt{5}}=\frac{(1+\sqrt{5})^{k-1}-(1-\sqrt{5})^{k-1}}{2^{k-1}.\sqrt{5}}+ \frac{(1+\sqrt{5})^{k-2}-(1-\sqrt{5})^{k-2}}{2^{k-2}.\sqrt{5}}$
\[=\frac{\frac{(1+\sqrt{5})^{k}}{(1+\sqrt{5})}-\frac{(1-\sqrt{5})^{k}}{(1-\sqrt{5})}}{\frac{1}{2}2^{k}.\sqrt{5}}+ \frac{\frac{(1+\sqrt{5})^{k}}{(1+\sqrt{5})^{2}}-\frac{(1-\sqrt{5})^{k}}{(1-\sqrt{5})^{2}}}{\frac{1}{4}2^{k}.\sqrt{5}} \]
\[=\frac{\frac{2(1+\sqrt{5})^{k}}{(1+\sqrt{5})}-\frac{2(1-\sqrt{5})^{k}}{(1-\sqrt{5})}+ \frac{4(1+\sqrt{5})^{k}}{(1+\sqrt{5})^{2}}-\frac{4(1-\sqrt{5})^{k}}{(1-\sqrt{5})^{2}}}{2^{k}.\sqrt{5}}\]
\[ =\frac{(1+\sqrt{5})^{k}\frac{2(1+\sqrt{5})+4}{(1+\sqrt{5})^{2}}-(1-\sqrt{5})^{k}\frac{2(1-\sqrt{5})+4}{(1-\sqrt{5})^{2}}}{2^{k}.\sqrt{5}}\]
\[=\frac{(1+\sqrt{5})^{k}\frac{(6+2\sqrt{5})}{(6+2\sqrt{5})}-(1-\sqrt{5})^{k}\frac{(6-2\sqrt{5})}{(6-2\sqrt{5})}}{2^{k}.\sqrt{5}}\]
$\displaystyle =\frac{(1+\sqrt{5})^{k}-(1-\sqrt{5})^{k}}{2^{k}.\sqrt{5}}$ (terbukti)

Lalu bagaimanakah caranya rumus ini didapatkan? Beberapa waktu lalu admin berhasil mendapatkan rumus ini dengan cara sedikit mengutak-atik deret Fibonacci ini dengan bantuan sebuah angka yang bernama rasio emas, yaitu $\phi = \frac {1+ \sqrt 5}{2} \approx 1.618...$. Kenapa disebut rasio emas? Salah satu alasannya karena rasio $1 : \phi$ sering kali muncul di alam, karya seni, arsitektur dan lainnya. Nah, nilai $\phi$ (phi, baca: fi) ini didapatkan dari persamaan berikut

$\displaystyle \frac{\phi + 1}{\phi} = \phi \leftrightarrow \phi + 1 = \phi^2$ ... (1)

dengan sedikit aljabar dan rumus akar persamaan kuadrat, kita dapat mencari nilai phi. Kalau kita teliti, persamaan tersebut juga punya akar selain phi, yaitu $\psi = \frac {1 - \sqrt5}{2} = 1- \phi \approx -0.618...$. $\psi$ (psi) ini disebut juga konjugasi dari phi.

Dari persamaan (1) tersebut dapat dilihat bahwa\[\phi(\phi + 1) = \phi^2 + \phi = (\phi + 1) + \phi = 2\phi + 1\]
\[\phi(2\phi + 1) = 2\phi^2 + \phi = 2(\phi + 1) + \phi = 3\phi + 2\]
\[\phi(3\phi + 2) = 3\phi^2 + 2\phi = 3(\phi + 1) + 2\phi = 5\phi + 3\]
 dan seterusnya, sehingga jika dibuat sebuah deret geometri\[\phi^n = 1,  \phi,  \phi + 1,  2\phi + 1,  3\phi + 2,  5\phi + 3, ...\]
Nah, karena psi memenuhi persamaan (1), maka kita dapat pula membuat deret geometri psi seperti di deret phi.\[\psi^n = 1,  \psi,  \psi + 1,  2\psi + 1,  3\psi + 2,  5\psi + 3, ...\]
kalau kita kurangi kedua deret geometri tersebut, maka kita akan mendapatkan\[\phi^n - \psi^n = 0, \phi - \psi,  \phi - \psi,  2(\phi - \psi),  3(\phi - \psi),  5(\phi - \psi), ...\]
jika dibagi dengan $(\phi - \psi)$ maka kita dapatkan \[\frac{\phi^n - \psi^n}{\phi - \psi} = 0, 1, 1,  2,  3,  5, ...\]
yang tidak lain dan tidak bukan merupakan deret fibonacci.