[tutorial] Turunan Implisit

Pernah ketemu kurva yang ribet seperti $x^3y - 5y^3 + 2x^2 + 5= 0$ dan perlu mencari gradien garis singgungnya di titik (0,1) misalnya? Persamaan semacam itu biasanya tidak bisa dibentuk menjadi y = ..., lalu bagaimana cara menentukan turunannya?

nah, untuk itulah dibutuhkan teknik yang namanya turunan implisit. Caranya gampang, cukup turunkan kedua sisi terhadap x, lalu jika ketemu y diturunkan terhadap x, ubah menjadi $\frac{dy}{dx}$, Manfaatkan pula penggunaan teorema rantai. Agar lebih mudah dimengerti, kita lihat langsung contohnya.



Misalnya kita ingin menurunkan persamaan $x^2+y^2=25$. maka, kita turunkan kedua sisinya terhadap x 
\[\frac{d(x^2 + y^2)}{dx} = \frac{d(25)}{dx}\] 
karena turunan dari konstanta = 0, maka 
\[\frac{d(x^2 + y^2)}{dx} = 0\]
karena turunan dari penjumlahan adalah jumlah dari turunan, maka 
\[ \frac{d(x^2)}{dx} + \frac{d(y^2)}{dx} = 0 \]
turunan dari $x^2$ adalah 2x, maka 
\[2x + \frac{d(y^2)}{dx} = 0\]
lalu bagaimana dengan $\frac{d(y^2)}{dx}$? gunakan teorema rantai dengan cara menurunkan $y^2$ terhadap y, sehingga 
\[2x + \frac{d(y^2)}{dy} \frac{dy}{dx} = 0\] \[\leftrightarrow 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\] \[\leftrightarrow 2y \frac{dy}{dx} = -2x\] \[\leftrightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\]
Yap! akhirnya kita mendapatkan turunan implisit dari $x^2+y^2=25$...
Nah, bagaimana dengan $x^3y - 5y^3 + 2x^2 + 5= 0$? silahkan coba sendiri :D